Tổng trực tiếp của hai mặt M và N, ký hiệu M # N, là mặt nhận được khi cắt đi từ mỗi mặt này một dĩa tròn và dán phần biên (là những đường tròn) của chúng lại với nhau. Đặc trưng Euler của tổng trực tiếp bằng tổng đặc trưng Euler của các số hạng trừ đi 2.

χ ( M # N ) = χ ( M ) + χ ( N ) − 2. {\displaystyle \chi (M\#N)=\chi (M)+\chi (N)-2.\,}

Mặt cầu S là phần tử đơn vị của phép lấy tổng trực tiếp, nghĩa là S # M = M. Điều này là vì mặt cầu khi xóa đi một dĩa tròn thì cũng là một dĩa tròn nên khi thực hiện phép dán, nó thay thế cho dĩa tròn đã bị cắt từ M

Việc lấy tổng trực tiếp của một mặt M với mặt xuyến T có thể được xem như để lại trên M một lỗ tròn. Nếu M là một mặt định hướng được thì T # M cũng định hướng được. Vì tổng trực tiếp là phép toán giao hoán nên tổng trực tiếp của hữu hạn các mặt cũng được xác định tốt.

Tổng trực tiếp của hai mặt phẳng xạ ảnh, P # P, là chai Klein K. Tổng trực tiếp của mặt phẳng xạ ảnh và chai Klein thì đồng phôi với tổng trực tiếp của mặt phẳng xạ ảnh và mặt xuyến; nói cách khác, ta có công thức P # K = P # T. Do đó, tổng trực tiếp của 3 mặt phẳng xạ ảnh thì đồng phôi với tổng trực tiếp của mặt phẳng xạ ảnh và mặt xuyến. Khi có một số hạng là mặt phẳng xạ ảnh thì tổng trực tiếp là một mặt không định hướng được.